Aplicaciones de derivadas

Conceptos 

El Costo Marginal mide como cambia el costo cuando hay un cambio en la producción. Se utiliza para la toma de decisiones cuando hay una mayor demanda.
Es la derivada del costo total

Ingreso Marginal. Se expresa como la derivada del Ingreso Total. 

La condición de equilibrio de la empresa que desea maximizar su beneficio es ingreso marginal igual a costo marginal.

Utilidad Marginal

El precio de un bien se define a través de su utilidad marginal, no a través de la utilidad objetiva. 
Cuando un bien está disponible en abundancia, su utilidad marginal es baja; la utilidad marginal de los bienes difíciles de conseguir es alta a causa de su rareza. 

Ejercicio:

Un fabricante establece que el comportamiento de costo y precio de su producto están dados por las ecuaciones:

Con base en esa información, calcule lo que se pide a continuación:

a) Usar la función costo marginal para estimar el costo de producir la unidad 38 (Derivada de la función Costo)

b) Calcular el costo real de producir la unidad 38 (Sustituir en la función Costo)

c) Utilizar la función ingreso marginal para estimar el ingreso obtenido al producir la unidad 38 (Derivada de la función Ingreso= Precio por unidades)

d) Calcular el ingreso real al producir la unidad 38 (Sustituir en a función precio por unidades)

e) Usar la utilidad marginal para determinar la utilidad correspondiente al vender la unidad 38 (Derivada de la utilidad, la utilidad = Precio menos Costo)

f) ¿Qué cantidad de unidades se deben producir para generar la utilidad máxima? (Utilidad Marginal igualada a cero)

g) ¿A cuánto corresponde esa utilidad?

h) Trace la gráfica de unidades vendidas vs. Ingresos

DERIVADAS

Derivadas

La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.

 Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada de una función f, es una función denotada por f´(x)

EJERCICIOS

LÍMITES

FUNCIONES

DEFINICIÓN
Una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).

CLASIFICACIÓN

·         FUNCION CRECIENTE: Aquella donde al aumentar el valor de la variable x, la función AUMENTA.

·         FUNCION DECRECIENTE: Aquella donde al aumentar el valor de la variable x, la función DISMINUYE.

                                                                             

Funciones continua y discontinua 

·         FUNCION CONTINUA: Aquella cuyo Dominio se expresa con un solo intervalo y se puede graficar con un solo trazo.

·         FUNCION DISCONTINUA: Aquella cuyo Dominio se expresa con dos o mas intervalos.

Algebra de funciones

Con las funciones al igual que con los números reales, pueden realizarse operaciones algebraicas.

GUÍA DE REPASO SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

EJERCICIOS DE REPASO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

INECUACION O DESIGUALDAD

Resuelva los siguientes problemas planteando desigualdades lineales.
1. Una compañía que fabrica alimento para ganado, con un costo variable de $152.00 por tonelada. Si los costos fijos son de $220,000.00 por mes y el alimento se vende en $252.00 por tonelada, ¿cuántas
toneladas deben venderse para que la compañía tenga utilidad mensual superior a $1,080,000.00?
2. Una empresa, fabrica un artículo que se vende a $60.00 por unidad, con un costo variable unitario de $45.00 y teniendo la compañía costos fijos de $1,800,000.00. La directiva de la empresa, desea tener utilidades superiores a $300,000.00, determine el número de artículos que debe fabricarse y venderse para lograr este objetivo.
3. El Sr. López, cuenta con un capital de $50,000.00, que invertirá en dos tipos de bonos, unos que dan un rendimiento del 6% y otros con mayor riesgo dan 7.5%. ¿Cuánto tendrá que invertir en los bonos del 7.5%, para que su rendimiento anual sea superior a $3,225.00
4.Un estudiante puede ganar $25.00 por hora trabajando en la biblioteca escolar, y $45.00 por hora en la cafetería. Para tener tiempo en sus estudios, quiere limitar su trabajo a 20 horas de trabajo por
semana, pero desea ganar $625.00 más. ¿Cuántas horas puede trabajar en la biblioteca?
5. Una compañía que vende computadoras, tiene un plan de incentivos para sus agentes de ventas. Por cada máquina que un agente venda, la comisión es de $200.00. La comisión por cada máquina
vendida se incrementa en $2.00, siempre que se vendan más de 60 unidades. ¿Cuántas
computadoras debe vender un agente, para obtener ingresos no inferiores a $15,400.00?

ECUACIONES CUADRÁTICAS
1. La suma de dos números naturales es 29. La diferencia de sus cuadrados supera en 71 al producto de los números. Determine dichos números.
2. Una empresa fabrica mensualmente x unidades de un producto a un precio de p pesos por unidad, en donde dicho precio se calcula como: p = 400- x . ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos totales de $33,600.00? Si el costo total para producir x unidades es de
13575+ 80x pesos ¿a qué precio p debe venderse cada unidad para obtener una utilidad mensual de
$12,000.00?
3. La diferencia de dos números naturales es 6 y la diferencia de sus recíprocos es
-3/416 . Halle los números.
4. La persona A demora 11 horas menos del doble de tiempo que tarda la persona B en realizar un mismo trabajo. Si A y B trabajando juntos pueden terminarlo en 28 horas. ¿Cuánto tarda cada uno en hacerlo sólo?

SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2
1. Un fabricante de bicicletas, produce vehículos de carrera y de montaña. El modelo de carrera tiene
costos unitarios de materiales de $550 y de $600 de mano de obra; en el modelo de montaña los
costos de materiales y de mano de obra, son de $700 y de $900, respectivamente. La empresa ha
considerado un presupuesto de $159,000 para gastos de mano de obra y $130,750 para materiales.
¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden fabricar?
2. Rodrigo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por ambas inversiones fue de $3,408. Si hubiera intercambiado sus inversiones el ingreso habría sido $3,342. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?

SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3X3
1. En un taller de cerámica, se fabrican jarrones, ensaladeras y ceniceros, con un costo mensual de
$6500.00 por 180 artículos. Los costos de fabricación de los jarrones, ensaladeras y ceniceros son de
$50.00, $40.00 y $30.00 respectivamente. Si se venden a $200.00, $120.00 y $90.00
respectivamente, ¿cuántos artículos de cada tipo se deben fabricar para obtener $21,000.00 de
ingresos mensuales?
2. Un fabricante de café, desea mezclar tres tipos de grano en 10,000 libras de una mezcla final. Los
tres componentes cuestan $2.40, $2.60, y $2.00 por libra, respectivamente. El fabricante desea una
mezcla de 10,000 libras a un costo total de $21,000.00. Al mezclar el café, una restricción establece
que las cantidades usadas de los granos componentes 1 y 2, sean iguales. Investigue si hay una
combinación de los tres tipos de café que dé una mezcla final de 10,000 libras que cueste $21,000.00
y satisfaga la restricción de la mezcla.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

FÓRMULA GENERAL

MÉTODO CON FÓRMULA GENERAL

MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS

EJERCICIOS

RESUELVE UTILIZANDO FORMULA GENERAL