Sistema de Ecuaciones 2x2

Sistema de dos ecuaciones con dos variables.

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones

Para encontrar los valores de las dos incógnitas en un sistema de dos ecuaciones, existen cinco métodos para poderlas resolver:

Ø  Reducción por Suma y Resta

Ø  Sustitución

Ø  Igualación

Ø  Determinantes

Ø  Gráfico

          Método de reducción por suma y resta

1.  Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números (cambio de signo si es necesario) que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, pero deberán ser de signo contrario.

2. Se suman las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

3. Se despeja la incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

       5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema 

   

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra, es decir, son múltiplos y/o paralelas.

Método de determinantes:

Si el sistema es: 

 

donde ${\displaystyle a,d}$ son los coeficientes de la variable x${\displaystyle b,e}$ son los coeficientes de la variable y ${\displaystyle c,f}$ son los términos independientes.

1. El valor de x es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y está formado por los coeficientes de las variables x${\displaystyle x}$ e y;  cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de 
   ${\displaystyle x}$ por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.
2. El valor de y es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y está formado por los coeficientes de las variables x e y${\displaystyle y}$; y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas. 

Método Gráfico

Este método permite analizar visualmente el problema. Se observan los siguientes casos:

a.  Si las rectas se intersectan en un solo punto entonces la ecuación tiene una única solución.   

b. Cuando las rectas son paralelas el sistema no tiene solución, y el  proceso  algebraico conduce a una contradicción.

c.      Cuando aparecen las rectas sobrepuestas el sistema tiene infinitas soluciones.

El método consiste en graficar cada una de las ecuaciones y observar si cumple con algunos de los tres casos señalados anteriormente