Aplicaciones de derivadas

Conceptos 

El Costo Marginal mide como cambia el costo cuando hay un cambio en la producción. Se utiliza para la toma de decisiones cuando hay una mayor demanda.
Es la derivada del costo total

Ingreso Marginal. Se expresa como la derivada del Ingreso Total. 

La condición de equilibrio de la empresa que desea maximizar su beneficio es ingreso marginal igual a costo marginal.

Utilidad Marginal

El precio de un bien se define a través de su utilidad marginal, no a través de la utilidad objetiva. 
Cuando un bien está disponible en abundancia, su utilidad marginal es baja; la utilidad marginal de los bienes difíciles de conseguir es alta a causa de su rareza. 

Ejercicio:

Un fabricante establece que el comportamiento de costo y precio de su producto están dados por las ecuaciones:

Con base en esa información, calcule lo que se pide a continuación:

a) Usar la función costo marginal para estimar el costo de producir la unidad 38 (Derivada de la función Costo)

b) Calcular el costo real de producir la unidad 38 (Sustituir en la función Costo)

c) Utilizar la función ingreso marginal para estimar el ingreso obtenido al producir la unidad 38 (Derivada de la función Ingreso= Precio por unidades)

d) Calcular el ingreso real al producir la unidad 38 (Sustituir en a función precio por unidades)

e) Usar la utilidad marginal para determinar la utilidad correspondiente al vender la unidad 38 (Derivada de la utilidad, la utilidad = Precio menos Costo)

f) ¿Qué cantidad de unidades se deben producir para generar la utilidad máxima? (Utilidad Marginal igualada a cero)

g) ¿A cuánto corresponde esa utilidad?

h) Trace la gráfica de unidades vendidas vs. Ingresos

DERIVADAS

Derivadas

La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.

 Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada de una función f, es una función denotada por f´(x)

EJERCICIOS

LÍMITES

FUNCIONES

DEFINICIÓN
Una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).

CLASIFICACIÓN

·         FUNCION CRECIENTE: Aquella donde al aumentar el valor de la variable x, la función AUMENTA.

·         FUNCION DECRECIENTE: Aquella donde al aumentar el valor de la variable x, la función DISMINUYE.

                                                                             

Funciones continua y discontinua 

·         FUNCION CONTINUA: Aquella cuyo Dominio se expresa con un solo intervalo y se puede graficar con un solo trazo.

·         FUNCION DISCONTINUA: Aquella cuyo Dominio se expresa con dos o mas intervalos.

Algebra de funciones

Con las funciones al igual que con los números reales, pueden realizarse operaciones algebraicas.

GUÍA DE REPASO SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

EJERCICIOS DE REPASO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

INECUACION O DESIGUALDAD

Resuelva los siguientes problemas planteando desigualdades lineales.
1. Una compañía que fabrica alimento para ganado, con un costo variable de $152.00 por tonelada. Si los costos fijos son de $220,000.00 por mes y el alimento se vende en $252.00 por tonelada, ¿cuántas
toneladas deben venderse para que la compañía tenga utilidad mensual superior a $1,080,000.00?
2. Una empresa, fabrica un artículo que se vende a $60.00 por unidad, con un costo variable unitario de $45.00 y teniendo la compañía costos fijos de $1,800,000.00. La directiva de la empresa, desea tener utilidades superiores a $300,000.00, determine el número de artículos que debe fabricarse y venderse para lograr este objetivo.
3. El Sr. López, cuenta con un capital de $50,000.00, que invertirá en dos tipos de bonos, unos que dan un rendimiento del 6% y otros con mayor riesgo dan 7.5%. ¿Cuánto tendrá que invertir en los bonos del 7.5%, para que su rendimiento anual sea superior a $3,225.00
4.Un estudiante puede ganar $25.00 por hora trabajando en la biblioteca escolar, y $45.00 por hora en la cafetería. Para tener tiempo en sus estudios, quiere limitar su trabajo a 20 horas de trabajo por
semana, pero desea ganar $625.00 más. ¿Cuántas horas puede trabajar en la biblioteca?
5. Una compañía que vende computadoras, tiene un plan de incentivos para sus agentes de ventas. Por cada máquina que un agente venda, la comisión es de $200.00. La comisión por cada máquina
vendida se incrementa en $2.00, siempre que se vendan más de 60 unidades. ¿Cuántas
computadoras debe vender un agente, para obtener ingresos no inferiores a $15,400.00?

ECUACIONES CUADRÁTICAS
1. La suma de dos números naturales es 29. La diferencia de sus cuadrados supera en 71 al producto de los números. Determine dichos números.
2. Una empresa fabrica mensualmente x unidades de un producto a un precio de p pesos por unidad, en donde dicho precio se calcula como: p = 400- x . ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos totales de $33,600.00? Si el costo total para producir x unidades es de
13575+ 80x pesos ¿a qué precio p debe venderse cada unidad para obtener una utilidad mensual de
$12,000.00?
3. La diferencia de dos números naturales es 6 y la diferencia de sus recíprocos es
-3/416 . Halle los números.
4. La persona A demora 11 horas menos del doble de tiempo que tarda la persona B en realizar un mismo trabajo. Si A y B trabajando juntos pueden terminarlo en 28 horas. ¿Cuánto tarda cada uno en hacerlo sólo?

SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2
1. Un fabricante de bicicletas, produce vehículos de carrera y de montaña. El modelo de carrera tiene
costos unitarios de materiales de $550 y de $600 de mano de obra; en el modelo de montaña los
costos de materiales y de mano de obra, son de $700 y de $900, respectivamente. La empresa ha
considerado un presupuesto de $159,000 para gastos de mano de obra y $130,750 para materiales.
¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden fabricar?
2. Rodrigo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por ambas inversiones fue de $3,408. Si hubiera intercambiado sus inversiones el ingreso habría sido $3,342. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?

SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3X3
1. En un taller de cerámica, se fabrican jarrones, ensaladeras y ceniceros, con un costo mensual de
$6500.00 por 180 artículos. Los costos de fabricación de los jarrones, ensaladeras y ceniceros son de
$50.00, $40.00 y $30.00 respectivamente. Si se venden a $200.00, $120.00 y $90.00
respectivamente, ¿cuántos artículos de cada tipo se deben fabricar para obtener $21,000.00 de
ingresos mensuales?
2. Un fabricante de café, desea mezclar tres tipos de grano en 10,000 libras de una mezcla final. Los
tres componentes cuestan $2.40, $2.60, y $2.00 por libra, respectivamente. El fabricante desea una
mezcla de 10,000 libras a un costo total de $21,000.00. Al mezclar el café, una restricción establece
que las cantidades usadas de los granos componentes 1 y 2, sean iguales. Investigue si hay una
combinación de los tres tipos de café que dé una mezcla final de 10,000 libras que cueste $21,000.00
y satisfaga la restricción de la mezcla.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

FÓRMULA GENERAL

MÉTODO CON FÓRMULA GENERAL

MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS

EJERCICIOS

RESUELVE UTILIZANDO FORMULA GENERAL

sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3

GUÍA PRIMER PARCIAL

GUÍA PRIMER PARCIAL

1. Resuelve 3x-8=15

2. Resuelve 3/4 x + 5/7=14

3. Resuelve 6x-4=12+x

4. Un tinaco puede ser llenado por una tubería 28 minutos, y por otra en 35 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán ambas en llenar el tinaco juntas?

5. Determine dos números cuya diferencia sea cuatro y la diferencia de sus cuadrados sea uno menos que el séptuplo del número mayor.

6. Una productora de café tiene costos fijos de $14,493.00 y le cuesta $15.35 producir un kilo de café. Si la productora vende cada kilo de café en $47.00 ¿Cuántos kilos de café necesita vender para estar en "punto de equilibrio"?

7. Se invierten en dos instrumentos financieros $50,000.00. Una parte en un bono con un interés del 7.2% anual y el resto en valores con un interés del 8.20% anual. El interés total que recibió el inversionista al final de un año fue equivalente a una tasa del 8.63% anual sobre el total de la inversión inicial. ¿Cuál fue la cantidad invertida al 8.20%?

8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones gráficamente 

9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

10. Grafica la función 3x+2

Cómo resolver sistemas de ecuaciones utilizando la calculadora

Paso 1. Cambia al Mode 5 Ecuaciones (EQN)  

Paso 2. Selecciona Ecuaciones Lineales de 2x2  es el Tipo 1

Paso 3. Colocar los coeficientes de las variables x, y, y término independiente, cada uno seguido del igual

Ejemplo

2x+3y=10

x+6y=1

Paso 4. Poner el signo de igual convencional (=), uno a la vez por cada variable que tenga

Solución

 x= 19/3 = 6.33 (si oprimes la tecla S«D)

 y= - 8/9 = -0.8888= - 0.89 (si oprimes la tecla S«D)

EJERCICIOS DE CLASE 

SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico y el método de determinantes

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Cinco tablas y ocho sillas, cuestan $11,500; tres tablas y cinco sillas, cuestan $7,000. Determine el precio de cada tabla y cada silla

2. Un café tiene cierto número de mesas para sus clientes. Si se sientan 6 personas en cada mesa quedan cuatro lugares libres en una mesa. Si se sientan 5 personas en cada mesa quedan dos

clientes sin sentarse. ¿Cuántos clientes y cuántas mesas hay?

3. El doble de un número supera en 3 a otro, mientras que el cuádruplo del primero es 5 unidades menor que el triple del segundo. ¿Cuáles son los números?

4. El triple de un número es 2 unidades menor que el doble de otro, mientras que el quíntuplo del primero supera en 6 al cuádruplo del segundo. ¿Cuáles son los números?

5. Si una solución de alcohol al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 litros más de la solución al 50%. La nueva mezcla resultaría al 40% de alcohol. ¿Cuántos litros se tienen de cada solución?

ejercicios sistemas de ecuaciones 2x2

Sistema de Ecuaciones 2x2

Sistema de dos ecuaciones con dos variables.

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones

Para encontrar los valores de las dos incógnitas en un sistema de dos ecuaciones, existen cinco métodos para poderlas resolver:

Ø  Reducción por Suma y Resta

Ø  Sustitución

Ø  Igualación

Ø  Determinantes

Ø  Gráfico

          Método de reducción por suma y resta

1.  Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números (cambio de signo si es necesario) que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, pero deberán ser de signo contrario.

2. Se suman las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

3. Se despeja la incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

       5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema 

   

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra, es decir, son múltiplos y/o paralelas.

Método de determinantes:

Si el sistema es: 

 

donde ${\displaystyle a,d}$ son los coeficientes de la variable x${\displaystyle b,e}$ son los coeficientes de la variable y ${\displaystyle c,f}$ son los términos independientes.

1. El valor de x es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y está formado por los coeficientes de las variables x${\displaystyle x}$ e y;  cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de 
   ${\displaystyle x}$ por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.
2. El valor de y es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y está formado por los coeficientes de las variables x e y${\displaystyle y}$; y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas. 

Método Gráfico

Este método permite analizar visualmente el problema. Se observan los siguientes casos:

a.  Si las rectas se intersectan en un solo punto entonces la ecuación tiene una única solución.   

b. Cuando las rectas son paralelas el sistema no tiene solución, y el  proceso  algebraico conduce a una contradicción.

c.      Cuando aparecen las rectas sobrepuestas el sistema tiene infinitas soluciones.

El método consiste en graficar cada una de las ecuaciones y observar si cumple con algunos de los tres casos señalados anteriormente